Composición de movimientos oscilatorios armónicos

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1 Figuras de Lissajous

Figuras de Lissajous

La composición de movimientos oscilatorios armónicos - que siempre se tratará de pequeñas oscilaciones pues de lo contrario el movimiento será oscilatorio pero no armónico – se realiza como vimos en la composición rectilíneos. Es decir, la elongación del movimiento resultante, será la suma vectorial de las pequeñas elongaciones de los movimientos que lo constituyen.

Si dos movimientos oscilatorios son capaces de enviar energía sobre un punto P, provocando sendos desplazamientos $PA_1$ y $PA_2$ , y esta acción la realizan simultáneamente, el desplazamiento efectuado por $P$ será la suma geométrica de los desplazamientos $PA_1$ y $PA_2$ .

El caso más frecuente es el de movimientos oscilatorios que tienen lugar sobre la misma recta, es decir, que las elongaciones son paralelas. En este caso, la composición geométrica de los vectores se limita a una suma algebraica de las elongaciones, considerando la recta soporte como un eje de ordenadas.

Construcción de Fresnel

Agustín Fresnel (1788-1827), físico francés.

Muy retrasado en sus estudios durante la infancia —no aprendió a leer hasta los ocho años—, que vivió en plena Revolución Francesa. Sin embargo, con dieciséis se graduó con honores en el Escuela Politécnica, que es el centro más prestigioso de Francia. Trabajó en la Vendée, región conocida por su apoyo al Antiguo Régimen. Apoyó a los Borbones contra Napoleón, por lo que en 1814, y hasta Waterloo, fue destituido de su cargo. Con la restauración del régimen absolutista de los dos últimos Borbones, fue nombrado para un puesto de ingeniero en París.

Como se ve en otro lugar, Fresnel explica completamente los fenómenos de interferencias y de difracción. En 1815 publicó su primer libro en el que explicaba la teoría ondulatoria de la luz, haciendo frente a los que mantenían la teoría corpuscular enunciada por Newton. Pese a su juventud, en 1823 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia y en 1827 fue elegido miembro de la Royal Society de Londres. En pleno romanticismo, murió de tuberculosis al año siguiente con 39 años.

La comprensión de la composición de movimientos vibratorios paralelos queda largamente facilitada por un método gráfico ideado por Fresnel.

Vector giratorio convencional

Recordemos la analogía entre el movimiento oscilatorio y la proyección de un radiovector sobre uno de los diámetros de la circunferencia que describe.

$y = a\ sen (\omega t + \varphi_o)$

donde $a$ es la amplitud y

$\omega t + \varphi_o$ es la fase en el instante $t$

$OP$ gira a una velocidad angular e igual a la pulsación $\omega$ .

Para $t = 0$ , el radiovector forma un ángulo con el eje de abcisas – origen de referencia para las fases - igual a

$\omega t + \varphi_o$

Si estudiamos la variación de $O A'$ , proyección de $OP$ sobre el eje de ordenadas, $OY$ , la medida de esa proyección viene dada por

$OA' = OA\ sen ( \omega t + \varphi_o )$

$y = a\ sen ( \omega t + \varphi_o)$

que es la ecuación horaria de un movimiento oscilatorio armónico, donde $\omega$ es la velocidad angular del movimiento de $P$ , la pulsación del segmento $OA'$ , $\varphi_o$ es la constante de fase, o ángulo que ha barrido ya $\vec a$ en el instante en que comenzamos a contar el tiempo. $OA'$ es la elongación $y$ siendo ala elongación máxima o amplitud.

Construcción de Fresnel

Si componemos las dos vibraciones representadas por:

$y_1 = a_1\ sen (\omega_1 t + \varphi_1)$

$y_2 = a_2\ sen (\omega_2 t + \varphi_2 )$

En un instante dado, la representación de sendos radiovectores son $a_1$ y $a_2$ respectivamente.

Sus proyecciones sobre el eje $OY$ son $OA_1'$ y $OA_2'$ .

Por otra parte se conoce la propiedad de la geometría de vectores que dice que la proyección de la suma geométrica de varios vectores sobre un eje es igual a la suma algebraica de las proyecciones de cada uno de los sumandos sobre el mismo eje.

Por lo tanto, la suma

$y = y_1 + y_2$

está representada por

$O A'$ = $O A_1'\ + O A_2'$ obteniendo la 'Regla de Fresnel',

“En un instante dado, el vector $\overrightarrow {O A} = \overrightarrow {O A_1} + \overrightarrow {O A_2}$ representa el movimiento resultante de la composición de movimientos cuyas elongaciones sean $y_1$ $+$ $y_{2''}$

Este método, nos permite obtener la elongación del movimiento resultante dos (o varios) movimientos de elongaciones paralelas, ahorrándonos cálculos trigonómetricos laboriosos por construcciones geométricas.

No debemos olvidar que no se ha dicho aún nada sobre los valores que pueden tomar las pulsaciones $\omega_1\y\ \omega_2$ , las cuales pueden ser iguales o diferentes.

Si $\omega_1= \omega_2$ , las frecuencias $f_1$ y $f_2$ de los movimientos componentes son iguales, el movimiento resultante viene representado por la diagonal $O A$ del paralelogramo $O A_1\ A\ A_2$ que es indeformable. Este paralelogramo gira alrededor de $O$ con una velocidad angular $\omega = \omega_1 = \omega_2$ .

No debemos olvidar que no se ha dicho aún nada sobre los valores que pueden tomar las pulsaciones $\omega_1 y \omega_2$ , las cuales pueden ser iguales o diferentes.

Si $\omega_1 = \omega_2$ , las frecuencias $f_1$ y $f_2$ de los movimientos componentes son iguales, el movimiento resultante viene representado por la diagonal $O A$ del paralelogramo $O A_1 A O A_2$ que es indeformable. Este paralelogramo gira alrededor de $O$ con una velocidad angular $\omega =\omega_1 = \omega_2$ .

De un modo general, al igual que se definió la resultante de n vectores al vector que une el origen del primer sumando con el extremo del último, habiéndolos situado uno a continuación del otro, construyendo un polígono, el movimiento resultante de la composición de n movimientos armónicos paralelos puede determinarse con la suma geométrica de los movimientos componentes tales como.

$y_1 = a_1\ sen (\omega_1 t + \varphi_1)$

$y_2 = a_2\ sen (\omega_2 t + \varphi_2)$

$y_3 = a_3\ sen (\omega_3 t + \varphi_3)$

$\cdots$

$y_n = \cdots$

Casos particulares

f1 = f2

$f_1 = f_2$

Si suponemos que en una de las vibraciones para $t = 0 \$ $\ \varphi_1 = 0$ , tenemos,

$y_1 = a_1\ sen \ \omega \ t$

$y_2 = a_2\ sen (\omega \ t + \ \varphi_2)$

El movimiento resultante depende de la diferencia de fase.

vibraciones en concordancia de fase con $f_1 = f_2$

$y_1 = a_1\ sen\ \omega \ t$

$y_2 = a_2\ sen\ \omega \ t$

La vibración resultante está en fase con las componentes.

Vibraciones con f1 = f2 y en oposición de fase</math>

Una vibración tendrá una fase $\varphi = \pi$

Las ecuaciones de las vibraciones componentes son

$y_1 = a_1 sen \omega \ t$

$y_2 = a_2 \ sen (\omega \ t + \pi)$

La figura nos muestra que $a = \left | a_1 - a_2 \right |$ y la vibración resultante esta en fase con la vibración componente de mayor amplitud.

Por otra parte,

$y_1 = a_1 \ sen \ (\omega \ t )$

$y_2 = a_2\ sen \ (\omega \ t + \pi) = -a_2 \ sen \ (\omega \ t )$

podemos poner el vector $a_2$ en fase con el anterior pero con sentido opuesto.

Vibraciones con f1 = f2 en cuadratura

Dos vibraciones están en cuadratura cuando su diferencia de fase es $\pi / 2$ .

$y_1 = a_1 sen \ (\omega \ t )$

$y_2 = a_2 sen \ (\omega \ t + \frac{\pi}{2})$

La vibración resultante tendrá por ecuación $y_1 = sen \ (\omega \ t + \phi)$ La amplitud a puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras

$a = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$

$tg \phi = \frac{a_2}{a_1}$

Describe un círculo de radio a.

Veremos después, con más detenimiento este caso al estudiar las figuras de Lissajous

Vibraciones con f1 = f2 con una diferencia de fase φ cualquiera

$y_1 = a_1 sen (\omega t)$

$y_2 = a_2 sen (\omega t + \varphi)$

La vibración resultante deberá tener como ecuación $y = a \ sen (\omega t +\phi)$

Si tenemos en cuenta el teorema del coseno:

$a^2 = a_1^2 + a_2^2 \ + \ 2 a_1 \ a_2 cos \varphi$

por lo tanto, la amplitud será :

$a = \sqrt { a_1^2 + a_2^2 \ + \ 2 a_1 \ a_2 cos \varphi }$

Por otra parte del triángulo $OHA_2$ se deduce

$tg \ \phi = \frac {A_2 \ H }{OH} \ = \frac {A_2 \ H} {O \ A_1 \ + \ A_1\ H}$

$tg \ \phi= \frac {a_2 \ sen \varphi} {a_1 \ + \ a_2 \ cos \varphi}$

Vemos pues que el ángulo $\omega t$ es sólo una mera referencia pues no interviene en al valor de $a$ .

Composición de dos movimientos armónicos de igual dirección y diferente frecuencia

Este fenómeno produce batidos o pulsaciones, que se estudia con detalle en otro archivo

Composiciones de movimientos oscilatorios perpendiculares. - Figuras de Lissajous

Consideremos el caso de una partícula que se mueve en el plano $xOy$ , de tal modo que sus proyecciones sobre los ejes $xOxÂ´$ e $yÂ´Oy$ oscilan con movimiento armónico.

Caso en que $f_1 = f_2$

El caso más sencillo sería la composición de dos movimientos cuyas ecuaciones fueran

$x = a sen Ï� t$

$y = b \ sen \ (\omega \ t \ + \ \delta)$ siendo $\delta$ la diferencia de fase.

La trayectoria de la partícula estaría restringida al rectángulo $x = \bigoplus \ a\ e\ y\ =\ \bigoplus \ b$ Consideremos el caso en el que $\delta \ = \pi$ , tenemos: $x \ = \ a \ sen \omega \ t$ $y \ = \ b \ sen \omega \ t$

Al dividir una ecuación por otra queda $\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$ que es la ecuación de una recta de pendiente b/a, que sería la diagonal de un rectángulo de lado horizontal 2 a y de lado vertical 2b, sobre la que oscilaría el movimiento resultante.

La amplitud sería igual $r = \sqrt{a^2 + b^2}$

Si los movimientos estuvieran en oposición de fase, $\delta = \pi$ , tenemos

$x = a \ sen \omega \ t$

$y = b \ sen( \omega \ t + \pi) \ = - b \ sen \omega \ t$

con lo cual:

$\frac{y}{x} = - \frac{b}{a}$

Cuando $\delta = 0 \ o \ \pi$ la interferencia de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia producen una polarización rectilínea.

Si las dos movimientos son de igual amplitud y $\delta = 0$ $\frac {y}{x} \ = 1$

Que es la diagonal de un cuadrado de lado a.

Si $a = b$ y, además, $\delta = \pi$ tenemos $\frac {y}{x} \ = -1$

Si $\delta = \frac {\pi} {2}$

$x = a \ sen \omega \ t$

$y = b \ sen \left ( \omega \ t + \frac {\pi} {2} \right ) = b \ cos \omega \ t$

$\frac {x}{a} \ = sen \ \omega \ t$

$\frac {y}{b} \ = cos \ \omega \ t$

Elevando al cuadrado y sumando tenemos

$\frac {x^2}{a^2} \ + \frac {y^2}{b^2} \ = 1$

que es la ecuación de una elipse.

En el caso de que $a = b$ , queda $x^2 + y^2 = a^2$ que es la ecuación de una circunferencia.

El sentido de giro del movimiento al describir la elipse nos viene dado por el valor de la pendiente de la tangente en $x = a \,$ , que es la velocidad.

En $x = a \,$ tenemos $a = a \ sen \omega \ t$ , con lo cual $sen \omega \ t = 1 \$

Derivando y con respecto $a \ t$

$\frac {dy}{dt} = -\omega \ b \ sen \omega \ t = - \omega \ b \ < 0$ , al pasar por a se moverá hacia abajo, es decir en el sentido de las agujas del reloj.

Si $\delta = - \frac {\pi}{2} \ o \ \frac {3 \pi}{2} \,$ el movimiento descrito será la misma elipse pero descrita en sentido contrario al de las agujas del reloj.

$x = a \ sen \ \omega \ t$ , para $\ x = a \$

tenemos $a = a \ sen \omega \ t$

y queda $sen \ \omega \ t = 1$

$\ y \ = \ b \ sen \ \left( \omega \ t - \frac {\pi}{2} \right)$ $= - b \ cos \ \omega \ t$

$dy \ = \ - b \ \omega \left [ - \ cos \ \left ( \omega \ t \ - \ \frac {\pi}{2} \right ) \right] \ dt =$ $b \ \omega \ sen \ \omega \ t \ dt \ = \ b \ \omega \ dt > 0$

Al ser la pendiente en x = a positiva, el movimiento describe la elipse en el sentido contrario de las agujas de un reloj.

Por lo tanto cuando ambos movimientos tienen la misma frecuencia y están en cuadratura, $\ \delta= \ \pm \frac{\pi}{2}$ , diremos que la polarización es elíptica con los ejes de la elipse paralelos a ambos movimientos..

Si, además, las amplitudes son iguales, la polarización es circular.

Las figuras de Lissajous pueden ser más complicadas en el caso de que exista una proporción entre las frecuencias $f_2$ y $f_1$ y la que existe entre números enteros. La forma de la figura variará al variar la diferencia de fase $\delta \$ .